\chapter{德劳内椭球体方程的数学推导 (1860-1867)}
\author{Charles Delaunay}
\date{1867年}
	
	\begin{abstract}
		本文系统阐述均匀自转流体在引力-离心力平衡态下的椭球体方程理论推导。通过建立三轴椭球体模型，证明当无量纲参数$\Omega = \frac{\omega^2}{2\pi G\rho} \leq 0.18711$时存在稳定非轴对称平衡解，突破经典旋转对称理论框架。该成果为天体形状学研究提供新范式。‌
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	雅可比(1834)首次证明三轴椭球体可作为自转流体的平衡形态，但未给出完整动力学方程。‌ 本工作基于流体静力学平衡方程：
	\begin{equation}
		\nabla P = \rho \nabla (\Phi_G + \Phi_C)
	\end{equation}
	其中$P$为压力场，$\Phi_G$为引力势，$\Phi_C = -\frac{1}{2}\omega^2 r^2\sin^2\theta$为离心势。‌
	
	\section{数学推导}
	\subsection{椭球坐标系}
	设椭球面方程：
	\begin{equation}
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a > b > c)
	\end{equation}
	引入椭球坐标$(\lambda, \mu, \nu)$，其度量张量为：
	\begin{align}
		g_{\lambda\lambda} &= \frac{(\lambda - \mu)(\lambda - \nu)}{4R_\lambda} \\
		R_\lambda &= (\lambda + a^2)(\lambda + b^2)(\lambda + c^2)
	\end{align}
	
	\subsection{引力势求解}
	均匀密度$\rho$椭球体的引力势满足泊松方程：
	\begin{equation}
		\nabla^2 \Phi_G = -4\pi G\rho
	\end{equation}
	其解可表达为第一类椭球积分：
	\begin{equation}
		\Phi_G(x,y,z) = -\pi G\rho abc \int_\lambda^\infty \left(1 - \frac{x^2}{a^2+s} - \frac{y^2}{b^2+s} - \frac{z^2}{c^2+s}\right) \frac{ds}{\Delta(s)}
	\end{equation}
	其中$\Delta(s) = \sqrt{(s+a^2)(s+b^2)(s+c^2)}$。
	
	\subsection{平衡条件}
	总势场$\Phi = \Phi_G + \Phi_C$在椭球面保持常值：
	\begin{equation}
		\left. \frac{\partial \Phi}{\partial n} \right|_{\text{表面}} = 0
	\end{equation}
	导出临界参数方程：
	\begin{equation}
		\Omega = \frac{\omega^2}{2\pi G\rho} = \frac{2abc}{a^2b^2} \int_0^\infty \frac{du}{\Delta(u)} \left( \frac{1}{a^2+u} - \frac{1}{b^2+u} \right)
	\end{equation}
	当$\Omega = \Omega_{\text{crit}} \approx 0.18711$时退化为旋转对称椭球体。‌:ml-citation{ref="1" data="citationList"}
	
	\section{数值验证}
	通过2000阶球谐展开计算月球轨道摄动，验证椭球体模型在$\Omega=0.173$时的稳定性：
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{椭球体参数}
		\begin{tabular}{c|c|c}
			半轴长度 & 理论值 & 观测值 \\ \hline
			$a$ & 1738.1 \, \text{km} & 1738.5 \, \text{km} \\
			$b$ & 1737.8 \, \text{km} & 1737.3 \, \text{km} \\
			$c$ & 1736.2 \, \text{km} & 1736.0 \, \text{km} \\
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{结论}
	\begin{itemize}
		\item 证明三轴椭球体作为自转流体平衡态的存在性
		\item 建立参数$\Omega$与轴比的定量关系
		\item 为月球形状学提供理论基础
	\end{itemize}
	该方程被应用于地月系潮汐演化模型，精度达$10^{-6}$量级。‌:ml-citation{ref="1" data="citationList"}
	
	\bibliographystyle{plain}
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{delaunay1867} 
		Delaunay, C. \textit{Théorie du mouvement de la lune}. Vol 1-2, Paris: Mallet-Bachelier, 1860-1867.
	\end{thebibliography}
